Imaginez que vous ne pouvez vous déplacer que d'un côté à l'autre sur un fil fin. C'est le monde de l'axe des réels. Si vous voulez sauter vers le haut, le fil ne peut pas vous supporter. L'introductiondes nombres complexesrevient à ajouter une nouvelle dimension à votre monde. Chaque nombre complexe de la forme $z = a + bi$ n'est plus simplement un point sur l'axe des réels, mais devient un couple de coordonnées $(a, b)$ dans le plan ou un vecteur partant de l'origine. Cette correspondance parfaite entre « nombre » et « forme » représente l'une des avancées les plus importantes de l'histoire des mathématiques.
Définition algébrique et correspondance géométrique des nombres complexes
Dans le volume 2 obligatoire, nous avons étudié le système des nombres complexes. Un nombre complexe est composé departie réelleetpartie imaginairesa partie réelle et sa partie imaginaire, sous la forme algébrique standard $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Pour mieux comprendre visuellement les nombres complexes, nous avons établile plan complexe:
- l'axe réelcorrespond à l'axe des $x$, représentant la partie réelle du nombre complexe.
- l'axe imaginairecorrespond à l'axe des $y$, représentant la partie imaginaire du nombre complexe.
- point et nombre complexeLe nombre complexe $z = a + bi$ correspond de manière unique au point $Z(a, b)$.
- vecteur et nombre complexeLe nombre complexe $z = a + bi$ correspond de manière unique au vecteur plan $\vec{OZ}$.
Le module d'un nombre complexe $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ représente géométriquement la distance entre le point $Z$ et l'origine dans le plan complexe. Quant à $|z_1 - z_2|$, il représente la distance entre deux points.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$